Wereldbeeld

In de oertijd en nog lang daarna bekeek ieder volk de wereld vanuit het eigen woongebied. De horizon was de rand van de aarde en leek niet zo ver weg, want je kon hem zien. Maar wel zo ver dat je er niet heen kon lopen. Als je omhoogkeek zag je de hemelkoepel zich boven je uitspannen. Duidelijk het hoogst boven het gebied waar je woonde, kromde hij zich als een kaasstolp naar beneden tot hij aan de horizon met de aarde samenkwam. Daar werden vanzelf de wolken tegen het aardoppervlak gedrukt. Vanzelfsprekend dat ieder volk het eigen land als het middelpunt van de aardschijf zag.
Zo ook had men een beperkte blik met betrekking tot omringende zeeën.

Soemeriërs

De uitdrukking zeven zeeën komt al zo’n vierenhalf duizend jaar geleden voor bij de Soemeriërs, die in het zuiden van Mesopotamië woonden. Mensen hadden toen geen globe om zeeën te kunnen tellen. In de buurt van Soemerië lag slechts één zee, de Perzische Golf. De Kaspische Zee lag op zo’n 700 km afstand, de Middellandse Zee op zo’n 800 km.
Mogelijk betekende de uitdrukking eigenlijk ‘zeven wateren’, en telden de Eufraat en de Tigris, de twee imposante rivieren waaraan Mesopotamië haar naam aan ontleende, ook mee.
Het meest waarschijnlijke is dat het een poëtische uitdrukking was; het getal zeven heeft nogal een symbolische waarde. En daardoor is de uitdrukking ook zo gemakkelijk door andere volkeren overgenomen.

Wereldzeeën

Geologisch gezien zijn er vijf grote zeebekkens die oceaan of wereldzee mogen heten.
– Noordelijke IJszee
– Atlantische Oceaan
– Stille Oceaan (Grote Oceaan)
– Indische Oceaan
– Zuidelijke Oceaan

Nog los daarvan dat de mensen vroeger onmogelijk al deze vijf wereldzeeën konden kennen, vijf is geen zeven. Grappig genoeg splitsen sommigen zowel de Atlantische Oceaan als de Stille Oceaan in een noordelijk deel en een zuidelijk deel. Met deze kunstgreep komen ze wel aan zeven (wereld)zeeën hopend zo een moderne verklaring van het begrip de zeven zeeën te kunnen bieden. Bijna obsessief wordt er voor een poëtische uitdrukking een exacte verklaring gezocht. Schoonheid moet blijkbaar wiskundig onderbouwd worden. Zie ook het gedicht ‘de gulden snede’.

Hoe tel je zeeën?

Geldt de Middellandse Zee als één zee? Hoe zit het dan met de Adriatische Zee, de  Egeïsche Zee, de Kretenzische Zee, de Ionische Zee, de Tyrreense Zee, de Ligurische Zee, de Levantijnse Zee, de Zee van Alborán, de Balearische Zee en de Libische Zee die allemaal tot de Middellandse Zee behoren?
Als wij tegenwoordig op een wereldkaart kijken dan lijken al die zeeën, die samen de Middellandse Zee vormen, slechts kleine vlekjes. Maar als je ergens aan het strand staat, dan is zo’n vlekje indrukwekkend groot.

De eerste onvolledigheidsstelling van Gödel

Eind 19e eeuw en begin 20e eeuw waren wiskundigen op zoek naar het bewijs dat de wiskunde een consistent (dat wil zeggen: logisch en strikt) en volledig systeem was. In een consistent systeem moeten ware beweringen steeds bewijsbaar zijn en moeten bewijsbare beweringen steeds waar zijn.

Maar in 1931 gooide Gödel roet in het eten. Hij construeerde een wiskundige formulering die over zichzelf stelt dat hij binnen het systeem van de wiskunde onbewijsbaar is. Het ging om de volgende formulering:   ”Deze formulering is niet bewijsbaar.”
Als de formulering wel bewijsbaar is, dan klopt hij niet, en is dus niet waar. Als de formulering waar is, dan is hij niet bewijsbaar, zoals de formulering zelf zegt. Daarmee zal er altijd (minstens) één ware formulering bestaan, die niet te bewijzen is.
Gödel toonde aan, dat dat voor ieder wiskundig systeem geldt.

Gödelnummering

Gödel had een ingenieuze versleuteling bedacht om iedere wiskundige formule om te zetten in een getal. En wel zo dat vanuit dat getal precies weer de formule te herleiden was. Omdat er bij iedere wiskundige uitspraak een getal hoorde, had Gödel een manier gevonden om (in principe) alle mogelijke wiskundige uitspraken in een vaste volgorde te zetten. Deze stap had hij nodig in zijn bewijs van de onvolledigheidsstelling.

Recursieve formuleringen

De crux van Gödels betoog is het gebruik maken van recursieve formuleringen. Dat zijn formuleringen die naar zichzelf verwijzen. Die iets over zichzelf beweren. Bekend is de leugenaarsparadox, zie meer in het volgende hoofdstukje.

De laatste strofe van het gedicht luidt
“niet alles wat ooit is geschreven
is door wijsheid ingegeven”
Hiermee poogt het gedicht ongetwijfeld te verwijzen naar de uitdrukking ‘zeven zeeën’. Want die uitdrukking klopt niet, die is zeker niet door wijsheid ingegeven. Maar omdat het gedicht zelf ook is geschreven, zegt het gedicht in de laatste strofe ook iets over zichzelf. Het zegt in feite dat het gedicht niet door wijsheid is ingegeven. Daarmee schiet het gedicht zich in de eigen voet, in die zin, dat het niet vast staat of de inhoud wel klopt.

De leugenaarsparadox

De bekendste vorm is die van Epimenides wonend op Kreta, die in de 6^e eeuw voor de jaartelling zei: “Alle Kretenzers liegen.” Als deze zin, uitgesproken door een Kretenzer, waar is, dan is hij gelogen en dus niet waar.
Nou valt hier nog wel wat op af te dingen, want betekent “Alle Kretenzers liegen”, dat ze altijd liegen? Dat iedere uitspraak van hen gelogen is?

Een sterker voorbeeld is de uitspraak “Deze zin is niet waar”. Als deze zin waar is, dan is hij niet waar. Bovendien, als de zin niet waar is, dan is hij wel waar.

Oppervlakkig gezien lijkt Gödels onvolledigheidsstelling een formalisering van de leugenaarsparadox. Maar het betoog van Gödel is zeer complex. Hij had een artikel van 26 bladzijden nodig om zijn onvolledigheidsstelling te bewijzen.